К большому сожалению задачи ГИА используют различные нотации математической логики даже в одном задании.
Для начала надо познакомиться соотвествием различных правил оформления логических операций
В логике обычно используется много символов для выражения логических сущностей. Поскольку логики знакомы с этими символами, они не объясняют их каждый раз при использовании. Для студентов, изучающих логику, следующая таблица перечисляет большинство общеупотребимых символов вместе с их именами и связанными областями математики. Кроме того, третий столбец содержит неформальное определение, пятый и шестой дают код Unicode и имя для использования в HTML документах[1]. Последний столбец даёт символ в системе LaTeX.
Учитывайте, что вне логики другие символы имеют то же самое значение, а те же самые символы, в зависимости от контекста, могут иметь разные значение.
| Символ | Название | Объяснение | Примеры |
|---|---|---|---|
| ⇒ → ⊃ | из .. следует; если .. то | A ⇒ B верно, только когда либо A ложно, либо B истинно. → может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также указывать область определения и область значений функции, см. таблицу математических символов). ⊃ может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также обозначать надмножество). | x = 2 ⇒ x2 = 4 истинно, но x2 = 4 ⇒ x = 2, в общем случае, ложно (поскольку x может быть равен −2). |
| ⇔ ≡ ↔ | тогда и только тогда | A ⇔ B истинно, только если оба значения A и B ложны, либо оба истинны. | x + 5 = y + 2 ⇔ x + 3 = y |
| ¬ ˜ ! | not (не) | Утверждение ¬A истинно тогда и только тогда, когда A ложно. Знак /, расположенный поверх другого оператора, означает то же самое, что «¬», помещённое перед выражением. | ¬(¬A) ⇔ A; x ≠ y ⇔ ¬(x = y) |
| ∧ • & | and (и) | Утверждение A ∧ B истинно, если и A, и B истинны, и ложно в противном случае. | n < 4 ∧ n >2 ⇔ n = 3, если n — натуральное число. |
| ∨ + ǀǀ | or (или) | Утверждение A ∨ B верно, если A или B (или оба) верны. Если оба не верны, утверждение неверно. | n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 когда n является натуральным числом. |
| ⊕ ⊻ | исключающее или xor | Утверждение A ⊕ B верно, когда либо A, либо B верно, но не оба. A ⊻ B означает то же самое. | (¬A) ⊕ A всегда верно, A ⊕ A всегда неверно. |
| ⊤ T 1 | Тавтология, верх | Утверждение ⊤ безусловно верно. | A ⇒ ⊤ всегда верно. |
| ⊥ F 0 | Противоречие; ложь, неверно, ошибочно | Утверждение ⊥ безусловно неверно. | ⊥ ⇒ A всегда верно. |
| ∀ () | Квантор всеобщности, для любого; для всех | ∀ x: P(x) или (x) P(x) означает P(x) верно для всех x. | ∀ n ∈ ℕ: n2 ≥ n. |
| ∃ | Квантор существования, существует | ∃ x: P(x) означает, что существует по меньшей мере один x, такой, что P(x) верно. | ∃ n ∈ ℕ: n чётно. |
| ∃! | Единственность, существует в точности один | ∃! x: P(x) означает, что существует ровно один x, такой, что P(x) верно. | ∃! n ∈ ℕ: n + 5 = 2n. |
| := ≡ :⇔ | Определение, определяется как | x := y илиx ≡ y означает, что x является другим обозначением для y (но заметьте, что ≡ может означать и другое, как, например, конгруэнтность). P :⇔ Q означает, что P логически эквивалентно Q. | cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B) |
| () | приоритетная группировка, скобки | Операции внутри скобок выполняются первыми. | (8 ÷ 4) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1, но 8 ÷ (4 ÷ 2) = 8 ÷ 2 = 4. |
| ⊢ | Выводимо | x ⊢ y означает, что y выводимо из x (в некоторых формальных системах). | A → B ⊢ ¬B → ¬A |
| ⊨ | Модель, влечёт | x ⊨ y означает, что x семантически влечёт за собой y | A → B ⊨ ¬B → ¬A |